Dynamika ruchu obrotowego

W module tym wprowadzimy dwie wielkości wektorowe o zasadniczym znaczeniu dla opisu ruchu obrotowego - moment siły i moment pędu, obie powiązanie drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.

Moment siły

Jak wynika z naszego codziennego doświadczenia w ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłożona. Na przykład, drzwi najłatwiej jest otworzyć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym do płaszczyzny drzwi. Siła przyłożona wzdłuż płaszczyzny drzwi jak i siła przyłożona w miejscu zawiasów nie pozwalają na ich obrót. Dla ruchu obrotowego wielkością, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) \( \boldsymbol{\tau} \), zdefiniowany następująco:

Definicja 1: moment siły

Jeżeli siła F jest przyłożona w punkcie którego położenie opisuje wektor wodzący r to moment \( \boldsymbol{\tau} \) siły F względem początku układu współrzędnych

\( \boldsymbol{\tau} = {\bf r} \times {\bf F} \)

Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi

(1)

\( \tau =\text{rF}\text{sin}\theta \)

Wielkość \( r \) nazywamy ramieniem siły. Z równania ( 1 ) wynika, że tylko składowa siły prostopadła do ramienia \( {F_{\bot}=F\text{sin}\theta } \) wpływa na moment siły.

Moment pędu

Zdefiniujmy wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako:

Definicja 2: Moment pędu

(2)

\( {\bf L} = {\bf r} \times {\bf p}, \)

gdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego położenie względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi

(3)

\( L = r p \sin(\theta) \)

Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Żeby ją wyprowadzić zróżniczkujmy obie strony równania ( 2 ):

(4)

\( \frac{d{\bf L}}{dt}=\frac{d}{dt}\left({\bf r}\times {\bf p}\right)=\frac{d{\bf r}}{dt}\times {\bf p}+{\bf r}\times\frac{d{\bf p}}{dt} = {\bf v}\times {\bf p}+{\bf r}\times {\bf F}_{{\text{wyp}}} \)

Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z definicją moment siły wypadkowym momentem siły. Otrzymujemy więc

(5)

\( \boldsymbol{\tau}_{\text{wyp}}=\frac{d{\bf L}}{dt} \)

Zasada 1: Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Wypadkowy moment siły działający na punkt materialny jest równy prędkości zmian momentu pędu.

To jest sformułowanie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego. Równanie ( 5 ) jest analogiczne do równania Zasady dynamiki Newtona-( 1 ) dla ruchu postępowego.
Analogicznie możemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego

Zasada 2: Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.

oraz trzecią zasadę dynamiki ruchu obrotowego

Zasada 3: Trzecia zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Jeżeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siła z jakim działa ciało drugie na ciało pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa na drugie.